Farkaseva lema: elementarni dokaz i ekonomske primjene

Sa？etak U ovom radu donosimo elementarni dokaz Farkaseve leme. U matematici je Farkaseva lema vrlo bitna ？injenica koja se koristi u teoriji optimizacije, primjerice u izvo？enju Karush-Khun-Tuckerovih uvjeta optimalnosti u slu？aju ograni？enja u obliku nejednakosti kod nelinearnog programiranja, te u dokazivanju dualnih teorema za linearno programiranje. Iako je Farkasevu lemu vrlo jednostavno iskazati, njezin dokaz nije trivijalan (ve？ina dokaza se temelji na netrivijalnim rezultatima iz podru？ja optimizacije i (linearne) algebre), o ？emu govori i podatak da su ju mnogi na razli？ite na？ine dokazivali jo？ od 1972. (pa i ranije) sve do danas, nadme？u？i se pritom tko ？e ponuditi jednostavniji dokaz. U ovom radu Farkasevu lemu dokazujemo na elementaran na？in koriste？i matemati？ku indukciju. Dokaz ove leme matemati？kom indukcijom je poznat u stranoj, ali ne i u doma？oj literaturi. Stoga je cilj ovog rada revidirati taj dokaz, ispraviti postoje？e nedostatke i pogre？ke, te detaljno objasniti svaku stavku dokaza, nekoriste？i pritom slo？ene termine i ？injenice iz podru？ja optimizacije i algebre. Osim samog dokaza Farkaseve leme, navodimo i njezine dvije primjene u ekonomiji, ？ime ？elimo, s jedne strane, pribli？iti i objasniti Farkasevu lemu na razumljiv na？in ？itateljima koji po svom zvanju nisu matemati？ari, ali ju koriste u svom radu, te s druge strane doprinijeti razumijevanju samog iskaza Farkaseve leme kroz konkretne primjere