薄板弯曲分析的高阶高效无网格法
An Efficient High-order Meshfree Method for Thin Plate Bending Analysis

摘要 与传统有限元法相比，无网格法具有节点形函数高度光滑、易于形成高阶近似等优势，更适合于以薄板弯曲问题为代表的高阶偏微分方程的数值求解。然而，高阶无网格法的形函数是非多项式的有理函数，导致弱形式的区域积分难以得到精确计算，通常采用的高阶高斯积分方法需使用大量积分点，计算效率低且精度不高。本文针对薄板弯曲问题的高阶（三阶）无网格法分析，首次发展了与该高阶近似相一致的曲率光顺方案，并基于背景三角形积分单元建立了相应的数值积分格式，大幅度减少了所需的积分点数目。所发展方法的关键在于计算刚度阵所需的形函数的二阶导数由形函数及其一阶导数通过散度定理确定，而非对形函数直接求导获得。数值结果表明，基于标准的高斯积分方案的高阶无网格法精度不高，不能精确再现纯弯曲和线性弯曲模式，且得到的弯矩场分布存在严重的虚假数值振荡。而本文所建议的基于曲率光顺方案的高阶无网格法能够方便高效地求解薄板弯曲问题，尤其是它能精确反映纯弯曲和线性弯曲模式。与标准的高斯积分方法和目前主流的常曲率光顺方法相比，本文方法在计算效率、精度、弯矩分布等方面均展现出显著优势，因而具有较好的应用价值