On the helix equation

This paper is devoted to the helices processes, i.e. the solutions H : × Ω → d, (t, ω) H(t, ω) of the helix equation egin{eqnarray} H(0,o)=0; quad H(s+t,o)= H(s,Phi(t,o)) +H(t,o) onumber end{eqnarray} H ( 0 ,ω ) = 0 ; H ( s + t,ω ) = H ( s, Φ ( t,ω ) ) + H ( t,ω ) where Φ : × Ω → Ω, (t, ω) Φ(t, ω) is a dynamical system on a measurable space (Ω, ). More precisely, we investigate dominated solutions and non differentiable solutions of the helix equation. For the last case, the Wiener helix plays a fundamental role. Moreover, some relations with the cocycle equation defined by Φ, are investigated. Ce papier est consacré aux hélices, c’est-à-dire les solutions H : × Ω → d, (t, ω) H(t, ω) de l’équation fonctionnelle egin{eqnarray} H(0,o)=0; quad H(s+t,o)= H(s,Phi(t,o)) +H(t,o) onumber end{eqnarray} H ( 0 ,ω ) = 0 ; H ( s + t,ω ) = H ( s, Φ ( t,ω ) ) + H ( t,ω ) où Φ : × Ω → Ω, (t, ω) Φ(t, ω) est un système dynamique défini sur un espace mesurable (Ω, ). Plus présisément, nous déterminons d’abord les hélices dominées puis nous caractérisons les hélices non différentiables. Dans ce dernier cas, l’hélice de Wiener joue un r le important. Nous précisons aussi quelques relations des hélices avec les cocycles définis par Φ.