Equa es Diferenciais Parciais e o Teorema de Existência e Unicidade para o Problema de Cauchy, caso linear

Seja $Omega$ de $mathbb{R}^2$ uma regi o aberta, $I$ um intervalo aberto e a equa o linear de primeira ordem n o homogênea em sua forma mais geral $a(x,y)u_x + b(x,y)u_y = c(x,y)$ e a condi o inicial $u(sigma(t), ho(t))=f(t)$ em que $a$, $b$ e $c$ s o de classe $C^1$ em $Omega$ que contém a curva suave $gamma=(sigma(t), ho(t)), tin I$, chamada curva inicial do problema. Este tipo de problema é chamado um Problema de Cauchy. Para resolvermos este problema de Cauchy será de importancia fundamental o conceito das curvas característica da equa o, pois estas representam o ponto de partida na busca da solu o para o problema.Também, veremos que a forma como as curvas características intersectam a curva inicial $(sigma(t), ho(t))$ dada determina se o problema terá solu o única, infinitas solu es ou se a solu o n o existe. Veremos o Teorema de Existência e Unicidade que nos dá as condi es necessárias para a existência e unicidade da solu o do Problema de Cauchy mencionado. é importante observar que o Teorema de Existência e Unicidade nos garante apenas resultados locais, já que o comportamento das curvas características longe da curva inicial pode tornar-se demasiado complexo.