连通环上Borel子群的自同构

设G是由有限维复单李代数L与其伴随表示确定的伴随型Chevalley-Demazure群概形,R是一个含单位元的交换环,R~*是R中所有单位构成的乘群,G(R)是环只上的ChevaUey群。设Δ是L的根系,Δ~+是由某一组素根系确定的正根系。设E(R)是G(R)的初等子群,U(R)是E(R)中由所有x_α(t),t∈R,α∈Δ~+,生成的上三角幺幂子群。设T(R)是G(R)的标准极大环面,T(R)同构于Hom(P,R~*),其中P是由Δ在整数环Z上张成的格。设B(R)是G(R)的由子群U(R)与T(R)生成的标准Borel子群。本文的主要结果是: