关于不定方程x3+27=19y2

不定方程x3±27=Dy2(D0)的研究曾引起了一些学者的兴趣,曹玉书确立了当D不含6k+1形状的素数奇次幂因子时的全部整数解,而当含有6k+1形状的素数因子时,方程的求解比较困难。本文利用递归数列、同余式和平方剩余的方法,讨论了不定方程x3+27=19y2在3|x及3x情况下的整数解。其中3x对又分了情形Ⅰx+3=19u2,x2-3x+9=v2,y=uv;情形Ⅱx+3=u2,x2-3x+9=19v2,y=uv这两种情况。最后得到不定方程x3+27=19y2仅有整数解(x,y)=(-3,0),(24,±9),(-2,±1)的结论。