Villat公式的两个简单证明及其在n连通圆界区域内的推广

本文利用Schwarz积分和Poisson积分的性质及核函数的下列表示式:K_1(z,ξ_1)=(ξ_1z)/(ξ_1-z)sumfromk=1to∞((ξ_1q~(2k)z)/(ξ_1-q~(2k)z)(ξ_1q(-2k)z/(ξ_1-q~(-2k)z)),ξ_1=e~(iθ)K_2(z,ξ_2)=(ξ_2z)/(ξ_2-z)-sumfromk=1to∞((ξ_2q~(2k)z)/(ξ_2-q~(2k)z)(ξ_2q(-2k)z/(ξ_2-q~(-2k)z)),ξ_2=qe~(iθ)给出圆环内解析函数的Villat公式的两个十分简单的证明。并进而把它推广到任意有限连通的圆界区域中去。后一结果此“美国数学评论”34卷＃6047(1967)介绍的Dunducenko的结果要早,我们的工作完成于1964年。