李雅普诺夫稳定性定理及不稳定性定理的推广

本文在一定条件下将李雅普诺夫稳定性及不稳定性定理作了推广。对于非自治系统(dx_s)/(dt)=X_s(t,x_1,…,x_n)(s=1,…,n)(2.1)若可以求得一个定正函数V(t,x_1,…x_n)而通过(2.1)计算得的全导数具有形式(dV)/(dt)=λ(t)U(t,x_1,…,x_n)+(?)(t,x_1,…,x_n)其中1°当t≥t_0时,积分integralfromt_0totλ(t)dt为有上界M的函数。2°U(t,x_1,…,x_n)为定正函数,且U≤V~k(K≥1为常数)3°(?)是常负函数或铲(?)≡0则非自治系统(2.1)的零解为稳定。此时,(dV)/(dt)可以是变号的也可以是常正的,系统(2.1)的零解仍是稳定的。进而得到了一个关于非自治系统(2.1)的零解为稳定和渐近稳定的充要条件。