弱条件下Halley族迭代的收敛性

我们曾在Smale的点估计判据下得到整个Halley族迭代的收敛性定理.点估计判据假设被求零点的映照f在初始近似z0的某个适当大的邻域内解析.按数值泛函文献的通常理解,这是强条件的假设,尽管这种假设对于实计算的复杂性研究有其特殊的需要.对于其迭代映照中涉及f的k阶导数(或差商)的迭代法,通常理解的弱条件是假设f在z0的某个邻域有连续的k+1阶导数,就像Канторович关于Newton法的经典工作那样.弱条件下建立收敛性定理的最大困难是关于优映照正根存在的判定.由于优映照通常被选为多项式,所以在关于算法的理论中,这是一个已经被彻底解决的问题.但成功的收敛性定理要求把这种条件明快地表示出来,而不是只给出一种判定的算法.对照文献[6]的成功和文献[7]的差强人意,这是很明显的.长期以来,还没有能够在弱条件下建立Halley族迭代的收敛性定理,其困难就在于此.对原来意义的Halley法来说,已经建立不少弱条件下的收敛性定理,但不能令人信服地说哪个比哪个更好,其原因亦在于此.