多自由度Hamilton系统的Birkhoff低维环面

考察平面上原点O的某邻域U上保面积的Cl(l≥3)微分同胚fU→R2,满足f(O)=O,且f在原点处的导映射Df(O)有一对纯虚根e±iω0,ω0≠2πm/n,即原点是f的椭圆型不动点,在通常情况下可将f写成f=B+C,其中B限制在每个圆周p2+q2=2τ上等干旋转一个角度ω(τ)=ω0+ω1+…,C代表高阶项.显然每个圆周p2+q2=2τ都是B的不变圆周.通常f不能把每个圆周都保留下来,但是根据著名的KAM定理,大量使得ω(τ)满足Diophantine条件的不变圆周并不破裂,它们经过高阶项C的摄动后只是稍微变形.然而在通常情况下,使得ω(τ)为有理数的圆周经过提动后一般会破裂,从而产生f的有限多对周期点,其中一半是双曲的,一半是椭圆的,如Birkhoff不动点定理所示.对于那些椭圆型周期点附近的情况可以重复上面的论述而得到一个无限嵌套的自相似结构,从而形成一个复杂的图象.