特征值、不等式与遍历理论

概述1992～1999年间所取得的研究进展.主要有3方面成果.首先是关于欧氏空间中的椭圆算子、黎曼流形上的拉氏算子和马氏链的谱隙(即第一非平凡特征值)下界的新的、统一的变分公式.这里,所使用的是概率方法———耦合方法.新公式乃古典变分公式的对偶.而后者等价于Poincar啨不等式.与此紧密相关的有对数Sobolev不等式、Nash不等式和Liggett不等式等.对于这些不等式,采用来自黎曼几何的Cheeger方法做了统一的处理.这两方面的工作大多是笔者与王凤雨一道完成的.更进一步,给出了以上诸不等式与传统的3种遍历性之间的关系图.丰富了马氏过程的遍历理论.关于所用方法的详细解释,将在后续同名文章中给出.