Riccati微分方程一个新的可积条件

1982年,李鸿祥1]给出推广的Ｒｉｃｃａｔｉ微分方程ｙ′=ｐ(ｘ)ｙｎ Ｑ(ｘ)ｙ Ｒ(ｘ)(1)的可积条件:Ｒ=ＫＰｅｎ∫Ｑｄｘ(Ｋ为常数).(2)　　现给出方程(1)可积的一个新条件:Ｒ=Ｋ′Ｐｅｎ∫(Ｑ-βＤ)ｄｘ(Ｋ′,β为常数).(3)　　引理　方程(1)经线性变换ｙ=Ψ(ｘ)Ｚ(4)化为方程Ｚ′=Ａ(ｘ)Ｚｎ Ｂ(ｘ)Ｚ Ｃ(ｘ)(5)的条件是:Ｉ1=ＰＲｎ-1=ＡＣｎ-1,(6.1)Ｉ2=Ｐ′/Ｐ (ｎ-1)Ｑ=Ａ′/Ａ (ｎ-1)Ｂ.(6.2)　　证　方程(1)经变换(4),化为方程Ｚ′=ＰΨｎ-1Ｚｎ (Ｑ-Ψ′/Ψ)Ｚ Ｒ/Ψ,(7)结合式(5),得Ａ=ＰΨｎ-1,(8.1)Ｂ=Ｑ-Ψ′/Ψ,(8.2)Ｃ=Ｒ/Ψ…