流形上BMO函数的一个特征

设Ｍ为一ｎ＿维完备连通Ｒｉｅｍａｎｎ流形,Ｒｉｃｃｉ曲率非负,为它的梯度算子,⊥=,ｔ,Ｂｘ(ｒ)是一半径为ｒ、中心为ｘ的测地球,Ｖｘ(ｒ)=|Ｂｘ(ｒ)|为Ｂｘ(ｒ)的体积,Ｂｘ(ｒ)∧=Ｂｘ(ｒ)×(0,ｒ),Ｍ⊥=Ｍ×Ｒ1 .对于ｆ∈Ｌ1ｌｏｃ(Ｍ)‖ｆ‖ＢＭＯ=ｄｅｆｓｕｐｘ∈Ｍ,ｒ>0Ｖ-1ｘ(ｒ)∫Ｂｘ(ｒ)ｆ(ｙ)-(ｆ)Ｂｘ(ｒ)ｄｙ,其中(ｆ)Ｂｘ(ｒ)=ｄｅｆＶ-1ｘ(ｒ)∫Ｂｘ(ｒ)ｆ(ｙ)ｄｙ;对于Ｍ⊥上的非负测度ｄμ‖ｄμ‖ＣＭ=ｄｅｆｓｕｐｘ∈Ｍ,ｒ>0Ｖ-1ｘ(ｒ)ｄμ(Ｂｘ(ｒ)∧),称ｆ为一ＢＭＯ＿函数,如果‖ｆ‖ＢＭＯ<∞;称ｄμ为一Ｃａｒｌ…