一类非自治动力系统超次谐周期解的不存在性

在非线性动力系统的研究中，Melnikov函数被广泛地用来作为微扰哈密顿系统是否发生次谐或超次谐分岔乃至混沌的判据.但是在大多数情况下，经典的Melnikov方法往往只给出存在次谐周期解的结论.产生该结果的原因被归之为在经典的Melnikov方法中只采取了一阶近似，因而高阶Melnikov方法被发展用来判断超次谐周期解的存在性.本文对一类非自治微分动力系统进行了研究，证明了在这样一类系统中如果存在周期解则只可能是次谐周期解，超次谐周期解不可能存在，并进一步证明了在一类平面问题中所定义的旋转(R)型超次谐周期解同样不可能存在.作为该结论的一个应用，文中考察了几个典型的算例，结果表明现有的二阶Melnikov方法判断平面扰动系统是否存在超次谐周期解的结论是不恰当的，并提供了一个简单的几何上的解释.