中值滤波中的循环序列(Ⅱ)

1背景与说明本文中k始终表示一个固定正整数,k≥2设x={x(n)}n=0±1,…是一个实数列,对每一n,用x1(n)表示{x(m)}n-k≤m≤n+k,这2k+1个数由小到大重排后位于中间的那一项.通过这样的重排运算,x={x(n)}变成一个新的实数列x1={x1(n)},它称为x的中值滤波.对x1又可进行中值滤波,其结果记为x2={x2(n)}.一般地xp={xp(n)}表示x通过p次中值滤波后的实数列,其中x0=x.若x(1)=x,则x称为中值滤波的根,关于根已有系统且完备的研究.若x1≠x,但有s≥2使xs=x,则x称为s次循环序列.关于循环序列已经有下面的命题若x={x(n)}是循环序列,则(i)x中任何长为k+1的段落都是二值的;(ii)x本身是二值的.本文证明任何循环序列都是二次循环的