%0 Journal Article
%T 群<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow>  <msubsup>   <mi>&#x2124;</mi>   <mi>n</mi>   <mi>k</mi>  </msubsup>  </mrow></math>的自同构个数的均值<br>On the Average Number of Automorphisms of the Group <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow>  <msubsup>   <mi>&#x2124;</mi>   <mi>n</mi>   <mi>k</mi>  </msubsup>  </mrow></math>
%A 喻俊杰
%J Pure Mathematics
%P 139-145
%@ 2160-7605
%D 2025
%I Hans Publishing
%R 10.12677/pm.2025.155162
%X 令<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msub>
   <mi>&#x2124;</mi>
   <mi>n</mi>
  </msub>
  </mrow>
</math>

表示模<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mi>n</mi>
</math>

剩余类群&#65292;<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msubsup>
   <mi>&#x2124;</mi>
   <mi>n</mi>
   <mi>k</mi>
  </msubsup>
  </mrow>
</math>

表示<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mi>k</mi>
</math>

个<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msub>
   <mi>&#x2124;</mi>
   <mi>n</mi>
  </msub>
  </mrow>
</math>

做直积后的群&#65292;并记其自同构个数为<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msub>
   <mi>a</mi>
   <mi>k</mi>
  </msub>
  <mrow><mo>(</mo>
   <mi>n</mi>
  <mo>)</mo></mrow></mrow>
</math>

。对任意的正整数<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mi>n</mi>
</math>

以及任意给定的正整数<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mi>k</mi>
</math>

&#65292;我们得到了<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mstyle displaystyle='true'>
   <msub>
    <mo>&#x2211;</mo>
    <mrow>
     <mi>n</mi><mo>&#x2264;</mo><mi>x</mi></mrow>
   </msub>
   <mrow>
    <msub>
     <mi>a</mi>
     <mi>k</mi>
    </msub>
    <mrow><mo>(</mo>
     <mi>n</mi>
    <mo>)</mo></mrow></mrow>
  </mstyle></mrow>
</math>

的渐近公式&#65292;其表明<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msub>
   <mi>a</mi>
   <mi>k</mi>
  </msub>
  <mrow><mo>(</mo>
   <mi>n</mi>
  <mo>)</mo></mrow></mrow>
</math>

的平均个数在不计常数因子的意义下是<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msup>
   <mi>n</mi>
   <mrow>
    <msup>
     <mi>k</mi>
     <mn>2</mn>
    </msup>
    </mrow>
  </msup>
  </mrow>
</math>

。该结果可被视作是Euler函数的经典均值结果在群论意义下的推广。<br>Let <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msub>
   <mi>&#x2124;</mi>
   <mi>n</mi>
  </msub>
  </mrow>
</math>

 be the additive group of the residue classes modulo <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mi>n</mi>
</math>

, <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msubsup>
   <mi>&#x2124;</mi>
   <mi>n</mi>
   <mi>k</mi>
  </msubsup>
  </mrow>
</math>

 be the direct product of <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mi>k</mi>
</math>

 <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msub>
   <mi>&#x2124;</mi>
   <mi>n</mi>
  </msub>
  </mrow>
</math>

&#8217;s, and <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msub>
   <mi>a</mi>
   <mi>k</mi>
  </msub>
  <mrow><mo>(</mo>
   <mi>n</mi>
  <mo>)</mo></mrow></mrow>
</math>

 be the number of automorphisms of <math
%K 群的自同构&#65292
%K 渐近公式&#65292
%K Perron公式&#65292
%K Dirichlet卷积方法<br>Automorphisms of Groups
%K Asymptotic Formula
%K Perron&#8217
%K s Formula
%K Dirichlet Convolution Method
%U http://www.hanspub.org/journal/PaperInformation.aspx?PaperID=114992