%0 Journal Article
%T 加权带有限函数空间在一致框架下的熵数<br>Entropy Numbers of Weighted Band-Limited Function Space in Uniform Setting
%A 任航
%A 高洁
%J Pure Mathematics
%P 144-155
%@ 2160-7605
%D 2025
%I Hans Publishing
%R 10.12677/pm.2025.153086
%X 熵数作为衡量函数空间复杂性的核心工具&#65292;在人工智能、控制论和科学计算等领域具有重要意义。本文基于已有研究&#65292;构建了加权带有限函数空间&#65292;采用离散化方法&#65292;探讨了加权带有限函数空间在一致框架下的熵数问题&#65292;并进一步估计出一致框架下熵数的精确渐近阶&#65292;即设
<math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mn>1</mn><mo>&#x003C;</mo><mi>p</mi><mo>,</mo><mtext>&#x00A0;</mtext><mi>q</mi><mo>&#x003C;</mo><mi>&#x221E;</mi><mo>,</mo><mtext>&#x00A0;</mtext><mi>r</mi><mo>&#x003E;</mo><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi><mrow><mo>{</mo> <mrow>
   <mn>0</mn><mo>,</mo><mfrac>
    <mn>1</mn>
    <mi>q</mi>
   </mfrac>
   <mo>&#x2212;</mo><mfrac>
    <mn>1</mn>
    <mi>p</mi>
   </mfrac>
   </mrow> <mo>}</mo></mrow><mo>,</mo><mtext>&#x00A0;</mtext><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo>&#x22EF;</mo></mrow>
</math>

&#65292;则<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msub>
   <mi>&#x03B5;</mi>
   <mi>n</mi>
  </msub>
  <mrow><mo>(</mo>
   <mrow>
    <msubsup>
     <mi>B</mi>
     <mrow>
      <mi>&#x03C3;</mi><mo>,</mo><mi>p</mi></mrow>
     <mi>&#x03C9;</mi>
    </msubsup>
    <mrow><mo>(</mo>
     <mi>&#x211D;</mi>
    <mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><msub>
     <mi>B</mi>
     <mrow>
      <mi>&#x03C3;</mi><mo>,</mo><mi>q</mi></mrow>
    </msub>
    <mrow><mo>(</mo>
     <mi>&#x211D;</mi>
    <mo>)</mo></mrow></mrow>
  <mo>)</mo></mrow><mo>&#x224D;</mo><msup>
   <mi>n</mi>
   <mrow>
    <mo>&#x2212;</mo><mrow><mo>(</mo>
     <mrow>
      <mi>r</mi><mo>&#x2212;</mo><mfrac>
       <mn>1</mn>
       <mi>q</mi>
      </mfrac>
      <mo>+</mo><mfrac>
       <mn>1</mn>
       <mi>p</mi>
      </mfrac>
      </mrow>
    <mo>)</mo></mrow></mrow>
  </msup>
  </mrow>
</math>

。其中<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msubsup>
   <mi>B</mi>
   <mrow>
    <mi>&#x03C3;</mi><mo>,</mo><mi>p</mi></mrow>
   <mi>&#x03C9;</mi>
  </msubsup>
  <mrow><mo>(</mo>
   <mi>&#x211D;</mi>
  <mo>)</mo></mrow></mrow>
</math>

是权为<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>&#x03C9;</mi><mo>=</mo><msub>
   <mrow>
    <mrow><mo>{</mo> <mrow>
     <msup>
      <mrow>
       <mrow><mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo></mrow></mrow>
      <mi>r</mi>
     </msup>
     </mrow> <mo>}</mo></mrow></mrow>
   <mrow>
    <mi>k</mi><mo>&#x2208;</mo><msub>
     <mi>&#x2124;</mi>
     <mn>0</mn>
    </msub>
    </mrow>
  </msub>
  </mrow>
</math>

的加权带有限函数空间。<br>Entropy numbers, as a core tool for measuring the complexity of function spaces, play a significant role in fields such as artificial intelligence, cybernetics, and scientific computing. Based on existing research, this study
%K 加权带有限函数空间&#65292
%K 熵数&#65292
%K 一致框架&#65292
%K 渐近阶<br>Weighted Band-Limited Function Space
%K Entropy Numbers
%K Uniform Setting
%K Asymptotic Order
%U http://www.hanspub.org/journal/PaperInformation.aspx?PaperID=109517