%0 Journal Article
%T An Initial-Boundary Value Problem for a Modified Transitional Korteweg-de Vries Equation
%A Charles Bu
%J Journal of Applied Mathematics and Physics
%P 138-147
%@ 2327-4379
%D 2025
%I Scientific Research Publishing
%R 10.4236/jamp.2025.131005
%X We study the following modified transitional Korteweg-de Vries equation <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msub>
   <mi>u</mi>
   <mi>t</mi>
  </msub>
  <mo>+</mo><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>
   <mi>t</mi>
  <mo>)</mo></mrow><msup>
   <mi>u</mi>
   <mi>p</mi>
  </msup>
  <msub>
   <mi>u</mi>
   <mi>x</mi>
  </msub>
  <mo>+</mo><msub>
   <mi>u</mi>
   <mrow>
    <mi>x</mi><mi>x</mi><mi>x</mi></mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
</math>

, <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow><mo>(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow>
  <mo>)</mo></mrow><mo>&#x2208;</mo><msup>
   <mi>R</mi>
   <mo>+</mo>
  </msup>
  <mo>&#x00D7;</mo><msup>
   <mi>R</mi>
   <mo>+</mo>
  </msup>
  </mrow>
</math>

, (<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>p</mi><mo>&#x2265;</mo><mn>2</mn></mrow>
</math>

 is an even integer) with initial value <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>u</mi><mrow><mo>(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow>
  <mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>g</mi><mrow><mo>(</mo>
   <mi>x</mi>
  <mo>)</mo></mrow><mo>&#x2208;</mo><msup>
   <mi>H</mi>
   <mn>4</mn>
  </msup>
  <mrow><mo>(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mi>R</mi>
     <mo>+</mo>
    </msup>
    </mrow>
  <mo>)</mo></mrow></mrow>
</math>

 and inhomogeneous boundary value 
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>u</mi><mrow><mo>(</mo>
   <mrow>
    <mn>0</mn><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow>
  <mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>Q</mi><mrow><mo>(</mo>
   <mi>t</mi>
  <mo>)</mo></mrow><mo>&#x2208;</mo><msup>
   <mi>C</mi>
   <mn>2</mn>
  </msup>
  <mrow><mo>(</mo>
   <mrow>
    <mrow><mo>[</mo> <mrow>
     <mn>0</mn><mo>,</mo><mi>&#x221E;</mi></mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow>
  <mo>)</mo></mrow></mrow>
</math>

. Under the conditions either (i) <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>
   <mi>t</mi>
  <mo>)</mo></mrow><mo>&#x2264;</mo><mn>0</mn></mrow>
</math>

, 
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msup>
   <mi>f</mi>
   <mo>&#x2032;</mo>
  </msup>
  <mrow><mo>(</mo>
   <mi>t</mi>
  <mo>)</mo></mrow><mo>&#x2265;</mo><mn>0</mn></mrow>
</math>

 or (ii) <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>
   <mi>t</mi>
  <mo>)</mo></mrow><mo>&#x2264;</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03B1;</mi></mrow>
</math>

 where <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>&#x03B1;</mi><mo>&#x003E;</mo><mn>0</mn></mrow>
</math>

, we prove the
%K Modified Transitional KdV Equation
%K Initial-Boundary Value Problem
%K Semi-Group
%K Local and Global Existence
%U http://www.scirp.org/journal/PaperInformation.aspx?PaperID=138902