%0 Journal Article
%T 不定方程<math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow>  <msup>   <mi>x</mi>   <mn>2</mn>  </msup>  <mo>&#x2212;</mo><mi>k</mi><mi>x</mi><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><msup>   <mi>y</mi>   <mn>2</mn>  </msup>  <mo>+</mo><mi>d</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math>的正整数解<br>The Positive Integer Solutions of the Diophantine Equation <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow>  <msup>   <mi>x</mi>   <mn>2</mn>  </msup>  <mo>&#x2212;</mo><mi>k</mi><mi>x</mi><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><msup>   <mi>y</mi>   <mn>2</mn>  </msup>  <mo>+</mo><mi>d</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math>
%A 龚禹豪
%J Advances in Applied Mathematics
%P 2771-2779
%@ 2324-8009
%D 2024
%I Hans Publishing
%R 10.12677/aam.2024.136266
%X 本文研究了在d∈{3,5,7,11,13,17,19}，k∈N？时，不定方程x2？kxy+ky2+dy=0有无穷多个正整数解(<i>x</i>, <i>y</i>)当且仅当<i>d</i><i> </i>= 3，<i>k</i><i> </i>= 5, 6, 7；<i>d</i><i> </i>= 5，<i>k</i><i> </i>= 5, 7, 9；<i>d</i><i> </i>= 7，<i>k</i><i> </i>= 5, 8, 11；<i>d</i><i> </i>= 11，<i>k</i><i> </i>= 5, 6, 9, 10, 15；<i>d</i><i> </i>= 13，<i>k</i><i> </i>= 5, 11, 17；<i>d</i><i> </i>= 17，<i>k</i><i> </i>= 5, 7, 11, 13, 21；<i>d</i><i> </i>= 19，<i>k</i><i> </i>= 5, 11, 14, 23。在<i>d</i>为奇素数时，给出了不定方程x2？kxy+ky2+dy=0正整数解的一些必要条件。<br />
In this paper, we study that atd∈{3,5,7,11,13,17,19},k∈N？, the indefinite equationx2？kxy+ky2+dy=0has infinitely many positive integer solutions (<i>x</i>, <i>y</i>) when and only when <i>d</i> = 3, <i>k</i> = 5, 6, 7; <i>d</i> = 5,<i> k</i> = 5, 7, 9; <i>d</i> = 7,<i> k</i> = 5, 8, 11; <i>d</i> = 11,<i> k</i> = 5, 6, 9, 10, 15; <i>d</i> = 13, <i>k</i> = 5, 11, 17; <i>d</i> = 17, <i>k</i> = 5, 7, 11, 13, 21; <i>d</i> = 19, <i>k</i> = 5, 11, 14, 23. Some necessary conditions for positive integer solutions of the indefinite equationx2？kxy+ky2+dy=0are given when <i>d</i> is an odd prime.
%K 不定方程，Pell方程，正整数解，二次剩余，同余<br>Diophantine Equation
%K Pell Equation
%K Positive Integer Solution
%K Quadratic Residues
%K Congruence
%U http://www.hanspub.org/journal/PaperInformation.aspx?PaperID=89759