%0 Journal Article
%T A representation theorem for operators on a space of interval functions
%A J. A. Chatfield
%J International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences
%D 1978
%I Hindawi Publishing Corporation
%R 10.1155/s0161171278000319
%X Suppose N is a Banach space of norm | ¡é ? ¡é| and R is the set of real numbers. All integrals used are of the subdivision-refinement type. The main theorem [Theorem 3] gives a representation of TH where H is a function from R   ¡ªR to N such that H(p+,p+), H(p,p+), H(p ¡é   ¡¯,p ¡é   ¡¯), and H(p ¡é   ¡¯,p) each exist for each p and T is a bounded linear operator on the space of all such functions H. In particular we show that TH=(I) ¡é    abfHd   ¡À+ ¡é   ¡®i=1 ¡é    [H(xi ¡é   ¡¯1,xi ¡é   ¡¯1+) ¡é   ¡¯H(xi ¡é   ¡¯1+,xi ¡é   ¡¯1+)]   2(xi ¡é   ¡¯1)+ ¡é   ¡®i=1 ¡é    [H(xi ¡é   ¡¯,xi) ¡é   ¡¯H(xi ¡é   ¡¯,xi ¡é   ¡¯)]    (xi ¡é   ¡¯1,xi)where each of    ¡À,    2, and      depend only on T,    ¡À is of bounded variation,    2 and      are 0 except at a countable number of points, fH is a function from R to N depending on H and {xi}i=1 ¡é     denotes the points P in [a,b]. for which [H(p,p+) ¡é   ¡¯H(p+,p+)] ¡é ¡ë  0 or [H(p ¡é   ¡¯,p) ¡é   ¡¯H(p ¡é   ¡¯,p ¡é   ¡¯)] ¡é ¡ë  0. We also define an interior interval function integral and give a relationship between it and the standard interval function integral.
%U http://dx.doi.org/10.1155/S0161171278000319